Фрунзенський район
Технологічна гімназія № 13 м. Мінська
Автори:
вул. Горецького 69-263
д.т. 215-84-33
Ермоліцкій Олексій Олександрович
учень 9 "Д" класу
вул. Сухаревська 7-46
д.т. 215-62-23
Тема:
Нестандартні методи розв'язання тригонометричних рівнянь: графічний та функціональний
Мінськ 2004
Зміст
Функціональний метод ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 00
Метод функціональної підстановки ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 00
Цілі і завдання наукової роботи ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 00
Практикум ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 00
Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 00
Визначення. Числовий функцією, визначеною на множині Х і приймає значення в безлічі Y, називається відповідність (правило, закон), яке кожному х з множини Х зіставляє одне і тільки одне значення у з безлічі Y.
Змінну х називають незалежною змінною або аргументом, а змінну у - залежною змінною. Кажуть також, що змінна у є функцією від змінної х. Значення залежною змінною називають значеннями функції.
Введене поняття числової функції є окремим випадком загального поняття функції як відповідності між елементами двох або більше довільних множин.
Нехай Х та Y - два довільних множини.
Визначення. Функцією, визначеної на множині Х і приймає значення в безлічі Y, називається відповідність, що співвідноситься з кожним елементом множини Х один і тільки один елемент з безлічі Y.
Визначення. Поставити функцію - це означає вказати область її визначення та відповідність (правило), за допомогою якого по даному значенню незалежної змінної знаходяться відповідні йому значення функції.
З поняттям функції пов'язані два способи вирішення рівнянь: графічний і функціональний. Окремим випадком функціонального методу є метод функціональної, або універсальної підстановки.
Визначення. Вирішити дане рівняння - означає знайти безліч всіх його коренів (рішень). Безліч коренів (рішень) може бути порожнім, кінцевим або нескінченним.
У наступних розділах теоретичного розділу ми розберемо вищеописані способи рішення рівнянь, а в розділі «Практикум» покажемо їх застосування в різних ситуаціях.
Графічний метод.
На практиці для побудови графіка деяких функцій складають таблицю значень функції для деяких значень аргументу, потім наносять відповідні точки на координатну площину і послідовно з'єднують їх лінією. При цьому передбачається, що точки досить точно показують хід зміни функції.
Визначення. Графіком функції y = f (x) називається множина всіх точок
{X, f (x) | x
Зауважимо, що так як функція f зіставляє кожному x
У загальному випадку рівняння з однією зміною x можна записати у вигляді
f (x) = g (x),
де f (x) і g (x) - деякі функції. Функція f (x) є лівою частиною, а g (x) - правою частиною рівняння. Тоді для вирішення рівняння необхідно побудувати в одній системі координат графіки функцій f (x) і g (x). Абсциси точок перетину будуть рішеннями даного рівняння.
Зауважимо, що так як функція f зіставляє кожному x
Даний метод може використовуватися не тільки для одиночних рівнянь, але і для їх систем, а також нерівностей. У випадку з системами необхідно знаходити не тільки абсциси, але і ординати (якщо графіки функцій f (x) і g (x) перетинаються в точці А (х 1, у 1), то рішенням системи буде х = х 1, у = у 1). При вирішенні нерівностей відповіддю буде сукупність абсцис, при яких графік функції f (x) знаходиться вище або нижче (в залежності від умови) графіка функції g (x).
Функціональний метод
Не всяке рівняння виду f (x) = g (x) в результаті перетворень може бути приведене до рівняння того чи іншого стандартного виду, для якого підходять звичайні методи вирішення. У таких випадках має сенс використовувати такі властивості функцій f (x) і g (x) як монотонність, обмеженість, парність, періодичність та ін Так, якщо одна з функцій зростає, а інша убуває на певному проміжку, то рівняння f (x) = g (x) не може мати більше одного кореня, який, в принципі, можна знайти підбором. Далі, якщо функція f (x) обмежена зверху, а функція g (x) - знизу так, що f (x) мах = А g (x) м in = A, то рівняння f (x) = g (x) рівносильне системі рівнянь
Також при використанні функціонального методу раціонально використовувати деякі теореми, наведені нижче. Для їх доведення й використання необхідні наступні рівняння загального вигляду:
f (x) = x (1)
Теорема 1. Корені рівняння (1) є корінням рівняння (2).
Теорема 2. Якщо f (x) - зростаюча функція на інтервалі a <f (x) <b, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні. Якщо f (x) - спадна функція на інтервалі a <f (x) <b, n - непарне, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні.
З останньої теореми випливають наслідок, також використовується в рішеннях:
Наслідок 1. Якщо f (x) зростає на всій своїй області визначення, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні. Якщо f (x) убуває на всій своїй області визначення, n - непарне, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні.
Теорема 3. Якщо в рівнянні f (x) = g (x) при будь-якому допустимому х виполнются умови f (x) ≥ a, g (x) ≤ a, де а - деяке дійсне число, то дано рівняння рівносильне системі
Наслідок 2. Якщо в рівнянні f (x) + g (x) = a + b при будь-якому допустимому х f (x) ≤ a, g (x) ≤ b, то дане рівняння рівносильне системі
Функціональний метод розв'язання рівнянь часто використовується в комбінації з графічним, так як обидва ці методу засновані на одних властивостях функцій. Іноді комбінацію цих методів називають графоаналітичним методом.
де R - раціональна функція, k, n, m, l ÎZ, за допомогою тригонометричних формул подвійного і потрійного аргументу, а також формул складання можна звести до раціонального рівнянню рівняння відносно аргументів sin x, cos x, tg x, ctg x, після чого рівняння (3) може бути зведене до раціонального рівняння відносно t = tg (x / 2) c допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки
2tg (x / 2) 1-tgІ (x / 2)
sin x = cos x =
1 + tgІ (x / 2) 1 + tgІ (x / 2)
(4)
2tg (x / 2) 1-tgІ (x / 2)
tg x = ctg x =
1-tgІ (x / 2) 2tg (x / 2)
Слід зазначити, що застосування формул (4) може призводити до звуження ОДЗ вихідного рівняння, оскільки tg (x / 2) не визначено в точках x = π +2 πk, kÎZ, тому в таких випадках потрібно перевіряти, чи є кути x = π + 2πk, kÎZ корінням вихідного рівняння.
Практикум
sin x + √ 2-sinІ x + sin x √ 2-sinІ x = 3
Дане рівняння раціонально вирішувати методом функціональної підстановки.
Нехай u = sin x і v = + √ 2-sinІ x . Так як -1 ≤ u ≤ 1 і v ≥ 1, то u + v ≥ 0. Крім того, маємо uІ + VІ = 2.
У такому випадку з рівняння отримуємо систему рівнянь
u + v + uv = 3
uІ + VІ = 2
Нехай тепер r = u + v і s = uv, тоді з системи рівнянь випливає
r + s = 3
rІ - 2s = 2
Звідси з урахуванням того, що r ≥ 0, отримуємо r = 2 і s = 1. Отже, має місце
u + v = 2
uv = 1
u = v = 1
Оскільки, u = sin x і u = 1, то sin x = 1 і x = π / 2 +2 πk, kÎ Z
Відповідь: x = π / 2 +2 πk, kÎZ
cos
Дане рівняння раціонально вирішувати функціональним методом.
cos
cos
x 2 +1 = 1 x = 0
Відповідь: х = 0
5sin x-5tg x
+4 (1-cos x) = 0
sin x + tg x
Дане рівнянні раціонально вирішувати методом фунціональної підстановки.
Так як tg x не визначений при x = π / 2 + πk, kÎ Z, а sin x + tg x = 0 при x = πk, kÎ Z, то кути x = πk / 2, kÎ Z не входять до ОДЗ рівняння.
Використовуємо формулу тангенса половинного кута і позначимо t = tg (x / 2), при цьому за умовами задачі t ≠ 0; ± 1, тоді отримаємо
2t 2t
5 -
1 + Tі 1-Tі 1-Tі
+4 1 - = 0
2t 2t 1 + Tі
+
1 + Tі 1-Tі
Так як t ≠ 0; ± 1, то дане рівняння рівносильне рівнянню
8tІ
-5tІ + = 0 ó-5-5tІ + 8 = 0
1 + Tі
звідки t = ± √ 3 / 5,. Отже, x = ± 2arctg √ 3 / 5 +2 πk, kÎ Z
Відповідь: x = ± 2arctg √ 3 / 5 +2 πk, kÎ Z
tg x + ctg x + tgІ x + ctgІ x + tgі x + ctgі x = 6
Дане рівняння раціонально вирішувати методом функціональної підстановки.
Нехай y = tg x + ctg x, тоді tgІ x + ctgІ x = yІ-2, tgі x + ctgі x = yі-3y
yі + yІ-2y-8 = 0
y = 2
Так як tg x + ctg x = 2, то tg x +1 / tg x = 2. Звідси випливає, що tg x = 1 і x = π / 4 + πk, kÎ Z
Відповідь: x = π / 2 +2 πk, kÎ Z
2 cos πx = 2 x -1
Дане рівняння раціонально вирішувати графічним методом.
Точка перетину графіків має координати (0,5; 0). Отже, х = 0,5
Відповідь: х = 0,5
3 + (х-π) 2 = 1-2 cosx
Дане рівняння раціонально вирішувати функціональним методом.
(Х-π) 2 +2 =- 2cosx
(Х-π) 2 +2 ≥ 2-2cosx ≤ 2
Відповідь: x = π
10 | sinx | = 10 | cosx | -1
Дане рівняння раціонально вирішувати графоаналітичним методом.
Оскільки 10> 1, то дане рівняння рівносильно наступному:
| Sinx | = | cosx | -1
Точки перетину графіків мають координати (
Технологічна гімназія № 13 м. Мінська
Автори:
Кравченко Арсеній Борисович
учень 9 "Д" класувул. Горецького 69-263
д.т. 215-84-33
Ермоліцкій Олексій Олександрович
учень 9 "Д" класу
вул. Сухаревська 7-46
д.т. 215-62-23
Тема:
Нестандартні методи розв'язання тригонометричних рівнянь: графічний та функціональний
Секція: математика
Науковий керівник:Буйницька Інеса Мечеславовна
вчитель вищої категоріїМінськ 2004
Зміст
Загальна теоретична частина ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 00
Графічний метод ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 00Функціональний метод ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 00
Метод функціональної підстановки ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 00
Цілі і завдання наукової роботи ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 00
Практикум ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 00
Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 00
Загальна теоретична частина
Нехай X і Y - два довільних чисельних множини. Елементи цих множин будемо позначати х і у відповідно і будемо називати змінними.Визначення. Числовий функцією, визначеною на множині Х і приймає значення в безлічі Y, називається відповідність (правило, закон), яке кожному х з множини Х зіставляє одне і тільки одне значення у з безлічі Y.
Змінну х називають незалежною змінною або аргументом, а змінну у - залежною змінною. Кажуть також, що змінна у є функцією від змінної х. Значення залежною змінною називають значеннями функції.
Введене поняття числової функції є окремим випадком загального поняття функції як відповідності між елементами двох або більше довільних множин.
Нехай Х та Y - два довільних множини.
Визначення. Функцією, визначеної на множині Х і приймає значення в безлічі Y, називається відповідність, що співвідноситься з кожним елементом множини Х один і тільки один елемент з безлічі Y.
Визначення. Поставити функцію - це означає вказати область її визначення та відповідність (правило), за допомогою якого по даному значенню незалежної змінної знаходяться відповідні йому значення функції.
З поняттям функції пов'язані два способи вирішення рівнянь: графічний і функціональний. Окремим випадком функціонального методу є метод функціональної, або універсальної підстановки.
Визначення. Вирішити дане рівняння - означає знайти безліч всіх його коренів (рішень). Безліч коренів (рішень) може бути порожнім, кінцевим або нескінченним.
У наступних розділах теоретичного розділу ми розберемо вищеописані способи рішення рівнянь, а в розділі «Практикум» покажемо їх застосування в різних ситуаціях.
Графічний метод.
На практиці для побудови графіка деяких функцій складають таблицю значень функції для деяких значень аргументу, потім наносять відповідні точки на координатну площину і послідовно з'єднують їх лінією. При цьому передбачається, що точки досить точно показують хід зміни функції.
Визначення. Графіком функції y = f (x) називається множина всіх точок
{X, f (x) | x
Зауважимо, що так як функція f зіставляє кожному x
У загальному випадку рівняння з однією зміною x можна записати у вигляді
f (x) = g (x),
де f (x) і g (x) - деякі функції. Функція f (x) є лівою частиною, а g (x) - правою частиною рівняння. Тоді для вирішення рівняння необхідно побудувати в одній системі координат графіки функцій f (x) і g (x). Абсциси точок перетину будуть рішеннями даного рівняння.
Зауважимо, що так як функція f зіставляє кожному x
Даний метод може використовуватися не тільки для одиночних рівнянь, але і для їх систем, а також нерівностей. У випадку з системами необхідно знаходити не тільки абсциси, але і ординати (якщо графіки функцій f (x) і g (x) перетинаються в точці А (х 1, у 1), то рішенням системи буде х = х 1, у = у 1). При вирішенні нерівностей відповіддю буде сукупність абсцис, при яких графік функції f (x) знаходиться вище або нижче (в залежності від умови) графіка функції g (x).
Функціональний метод
Не всяке рівняння виду f (x) = g (x) в результаті перетворень може бути приведене до рівняння того чи іншого стандартного виду, для якого підходять звичайні методи вирішення. У таких випадках має сенс використовувати такі властивості функцій f (x) і g (x) як монотонність, обмеженість, парність, періодичність та ін Так, якщо одна з функцій зростає, а інша убуває на певному проміжку, то рівняння f (x) = g (x) не може мати більше одного кореня, який, в принципі, можна знайти підбором. Далі, якщо функція f (x) обмежена зверху, а функція g (x) - знизу так, що f (x) мах = А g (x) м in = A, то рівняння f (x) = g (x) рівносильне системі рівнянь
Також при використанні функціонального методу раціонально використовувати деякі теореми, наведені нижче. Для їх доведення й використання необхідні наступні рівняння загального вигляду:
f (x) = x (1)
Теорема 1. Корені рівняння (1) є корінням рівняння (2).
Теорема 2. Якщо f (x) - зростаюча функція на інтервалі a <f (x) <b, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні. Якщо f (x) - спадна функція на інтервалі a <f (x) <b, n - непарне, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні.
З останньої теореми випливають наслідок, також використовується в рішеннях:
Наслідок 1. Якщо f (x) зростає на всій своїй області визначення, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні. Якщо f (x) убуває на всій своїй області визначення, n - непарне, то на даному інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні.
Теорема 3. Якщо в рівнянні f (x) = g (x) при будь-якому допустимому х виполнются умови f (x) ≥ a, g (x) ≤ a, де а - деяке дійсне число, то дано рівняння рівносильне системі
Наслідок 2. Якщо в рівнянні f (x) + g (x) = a + b при будь-якому допустимому х f (x) ≤ a, g (x) ≤ b, то дане рівняння рівносильне системі
Функціональний метод розв'язання рівнянь часто використовується в комбінації з графічним, так як обидва ці методу засновані на одних властивостях функцій. Іноді комбінацію цих методів називають графоаналітичним методом.
Метод функціональної підстановки
Окремим випадком функціонального методу є метод функціональної підстановки - самий, мабуть, поширений метод вирішення складних задач математики. Суть методу полягає у введенні нової змінної y = ѓ (x), застосування якої призводить до простішого виразу. Окремим випадком функціональної підстановки є тригонометрична підстановка.
Тригонометричні рівняння виду
R (sin kx, cos nx, tg mx, ctg lx) = 0 (3)де R - раціональна функція, k, n, m, l ÎZ, за допомогою тригонометричних формул подвійного і потрійного аргументу, а також формул складання можна звести до раціонального рівнянню рівняння відносно аргументів sin x, cos x, tg x, ctg x, після чого рівняння (3) може бути зведене до раціонального рівняння відносно t = tg (x / 2) c допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки
2tg (x / 2) 1-tgІ (x / 2)
1 + tgІ (x / 2) 1 + tgІ (x / 2)
(4)
2tg (x / 2) 1-tgІ (x / 2)
1-tgІ (x / 2) 2tg (x / 2)
Слід зазначити, що застосування формул (4) може призводити до звуження ОДЗ вихідного рівняння, оскільки tg (x / 2) не визначено в точках x = π +2 πk, kÎZ, тому в таких випадках потрібно перевіряти, чи є кути x = π + 2πk, kÎZ корінням вихідного рівняння.
Практикум
Нехай u = sin x і v = + √ 2-sinІ x . Так як -1 ≤ u ≤ 1 і v ≥ 1, то u + v ≥ 0. Крім того, маємо uІ + VІ = 2.
У такому випадку з рівняння отримуємо систему рівнянь
u + v + uv = 3
uІ + VІ = 2
Нехай тепер r = u + v і s = uv, тоді з системи рівнянь випливає
r + s = 3
rІ - 2s = 2
Звідси з урахуванням того, що r ≥ 0, отримуємо r = 2 і s = 1. Отже, має місце
u + v = 2
uv = 1
u = v = 1
Оскільки, u = sin x і u = 1, то sin x = 1 і x = π / 2 +2 πk, kÎ Z
Відповідь: x = π / 2 +2 πk, kÎZ
cos
Дане рівняння раціонально вирішувати функціональним методом.
cos
x 2 +1 = 1 x = 0
Відповідь: х = 0
5sin x-5tg x
sin x + tg x
Дане рівнянні раціонально вирішувати методом фунціональної підстановки.
Так як tg x не визначений при x = π / 2 + πk, kÎ Z, а sin x + tg x = 0 при x = πk, kÎ Z, то кути x = πk / 2, kÎ Z не входять до ОДЗ рівняння.
Використовуємо формулу тангенса половинного кута і позначимо t = tg (x / 2), при цьому за умовами задачі t ≠ 0; ± 1, тоді отримаємо
2t 2t
2t 2t 1 + Tі
1 + Tі 1-Tі
Так як t ≠ 0; ± 1, то дане рівняння рівносильне рівнянню
8tІ
1 + Tі
tg x + ctg x + tgІ x + ctgІ x + tgі x + ctgі x = 6
Дане рівняння раціонально вирішувати методом функціональної підстановки.
Нехай y = tg x + ctg x, тоді tgІ x + ctgІ x = yІ-2, tgі x + ctgі x = yі-3y
yі + yІ-2y-8 = 0
y = 2
Так як tg x + ctg x = 2, то tg x +1 / tg x = 2. Звідси випливає, що tg x = 1 і x = π / 4 + πk, kÎ Z
Відповідь: x = π / 2 +2 πk, kÎ Z
2 cos πx = 2 x -1
Дане рівняння раціонально вирішувати графічним методом.
Точка перетину графіків має координати (0,5; 0). Отже, х = 0,5
Відповідь: х = 0,5
3 + (х-π) 2 = 1-2 cosx
Дане рівняння раціонально вирішувати функціональним методом.
(Х-π) 2 +2 =- 2cosx
(Х-π) 2 +2 ≥ 2-2cosx ≤ 2
Відповідь: x = π
10 | sinx | = 10 | cosx | -1
Дане рівняння раціонально вирішувати графоаналітичним методом.
Оскільки 10> 1, то дане рівняння рівносильно наступному:
| Sinx | = | cosx | -1
Точки перетину графіків мають координати (